• Logika - Proposisi

Proposisi adalah suatu pernyataan dalam bentuk kalimat yang memiliki arti penuh dan utuh. Proposisi logika terdiri atas tiga bagian utama yaitu subjek, predikat, dan kopula. Kopula ialah kata yang menghubungkan subjek dan predikat. Sering kali proposisi memiliki pembilang yang mengacu kepada kuantitas subjek. Contohnya “semua manusia adalah fana”
Semua = pembilang
Manusia = subjek
Adalah = kopela
Fana = predikat


Dalam kalimat bahasa Indonesia selaku bahasa yang tidak berflaksi, kopula tidak dibutuhkan. Namun, dalam proposisi logika, kopula merupakan keharusan, oleh karena itu, dalam proposisi-proposisi logika yang berbahasa berbahasa Indonesia, kopula tetap digunakan. Kata-kata yang dapat digunakan sebagai kopula dalam bahasa Indonesia ailah adalah, ialah, itu dan lain sebagainya.
Klasifikasi Proposisi
1. Proposisi kategoris adalah proposisi yang sifat pengakuan atau pengingkaran tidak disertai dengan syarat.
2. Proposisi Hipotetis adalah proposisi yang sifat pengakuan atau pengingkarannya selalu disertai dengan syarat

1) Klasifikasi proposisi kategoris
a. Berdasarkan jenis kata pada term subyek dan predikat.
(a). Proposisi kategoris standar.
(b). Proposisi kategoris tidak standar
b. Berdasarkan kuantitasnya.
(a). Proposisi singular
(b). Proposisi partikular
(c). Proposisi universal
c. Berdasarkan kualitasnya.
(a). Proposisi afirmatif
(b). Proposisi negatif
d. Berdasarkan kuantitas dan kualitasnya
(a). Proposisi universal afirmatif. A
(b). Proposisi Partikular afirmatif. I
(c). Proposisi singular afirmatif. A
(d). Proposisi universal negatif. E
(e). Proposisi partikular negatif. O
(f). Proposisi singular negatif. E
Keterangan
Huruf A dan I, diambil dari kata affirmo/affirmare, berarti saya mengakui/mengiyakan.
Huruf O dan E, diambil dari kata Nego/negare, berarti saya menyangkal.
Distribusi term dalam proposisi
Distribusi term dalam proposisi logika adalah penunjukan luas cangkupan atau sebaran term dari suatu subjek atau predikat dalam suatu proposisi. Term yang berdisrtibusi ialah term yang meliputi keseluruhan ekstensi term tersebut. Term yang tidak berdistribusi ialah term yang tidak meliputi keseluruhan ekstensi.
1. Proposisi A, term subjek berdistribusi, dan term predikat tidak berdistribusi.
Contoh : semua burung adalah hewan
- Semua burung : subjek berdistribusi karena mencakup seluruh jenis burung
- Hewan : predikat tidak berdisrtibusi kerena tidak semua hewan adalah burung
2. Proposisi E, term subjek berdistribusi, dan term predikat berdistribusi.
Contoh : semua presiden bikanlah kaisar
- Semua presiden : subjek berdistribusi karena meliputi seluruh presiden
- Kaisar : predikat berdistribusi karena menunjukkan semua kaisar, proposisi negative predikat tidak membatasi dan dibatasi oleh subjek
3. Proposisi I, term subjek tidak berdistribusi, dan term predikat tidak perdistribusi
Contoh : sebagian manusia adalah pemarah
- Sebagian manusia : subjek tidak berdistribusi karena tidak meliputi seluruh manusia
- Pemarah : predikat tidak berdistribusi karena pemarah hanya meliputi sebagian manusia dan tidak semuanya.
4. Proposisi O, term subjek tidak berdistribusi, dan term predikat berdistribusi
Contoh : sebagian manusia tidaklah cerdik
- Sebagian manusia : subjek tidak berdistribusi karena tidak meliputi seluruh manusia
- Cerdik : predikat berdistribusi karena meliputi semua ekstensi dari yang cerdik dan ia tidak membatasi dan dibatasi term subjek.

• NEGASI 

Negasi atau ingkaran mirip seperti lawan kata dalam bahasa Indonesia, tapi lebih ditujukan untuk kalimat. Jadi negasi adalah pengingkaran kalimat atau lawan dari sebuah kalimat. Ini tidak diajarkan dalam pelajaran Bahasa, tapi di Logika Matematika. Tidak mengada2 dan bukan tanpa landasan teori.

Untuk menentukan negasi dari kalimat, ada 2 hal yang harus dipenuhi.
Pertama struktur kalimat. Antara kalimat semula dengan negasinya harus menunjukkan perlawanan.
Kedua, benar salahnya juga harus berlawanan. Jika kalimat semula bernilai benar, maka negasinya harus bernilai salah. Demikian sebaliknya.

Atas dasar itu, maka dalam menentukan negasi, kita ndak bisa hanya mengandalkan lawan kata. Kalau dalam bahasa Indonesia, naik lawannya turun. Dalam matematika, itu salah. Naik lawannya tidak naik!.
Sepintas tampaknya sama, tapi itu sangat beda.
Kenapa?. Karena dalam matematika, jawaban harus lengkap.
Lawannya naik ndak cuma turun, tapi datar juga iya. Bukankah datar itu juga tidak naik?. Lagi pula, kalau hanya mengandalkan lawan kata, kita akan kesulitan sendiri, karena banyak kata yang ndak punya lawan kata. Besar lawannya kecil, jauh lawannya dekat, tua lawannya muda. Lha kalau “jatuh”. Apa lawan katanya?. Biru, apa pula lawan katanya?.

Di Matematika kita ndak akan kesulitan. Besar lawannya tidak besar, tua lawannya tidak tua, jatuh lawannya ndak jatuh, biru lawannya ya tidak biru!.

Contoh dalam kalimat:
Ali badannya kurus >< Ali badannya tidak kurus (bisa gemuk, bisa pas2an)
Ada orang berkacamata >< Tidak ada orang berkacamata
Jangan sampai keliru, negasi “Ada orang berkacamata” bukan “Ada orang tidak berkacamata”.

Lagi2 sepintas tampak betul, tapi itu salah.
Kenapa salah?.
Secara bahasa memang sudah menunjukkan perlawanan, tapi dari sisi kebenaran, belum menunjukkan perlawanan.
Ada orang berkacamata, kalimat itu benar, karena memang ada orang yg berkacamata.
Ada orang tidak berkacamata, kalimat ini benar juga, karena memang ada orang yg nggak pakai kacamata.
Negasi kalimat yang bernilai benar harus bernilai salah. Maka negasi yang tepat adalah “Tidak ada orang berkacamata”.
Menentukan negasi dilakukan dengan menambah kata “tidak” di tempat yang tepat, atau menghilangkannya jika kalimatnya sudah memuat kata “tidak”. Tidak asal taruh!.

Ingat, negasi bukanlah lawan kata.
Jangan sampai negasi dari “Ibu Kartini pahlawan wanita Indonesia” adalah “Bapak Kartono penjahat pria Israel”...

• Konjungsi  

Konjungsi adalah kata yang menghubungkan kata dengan kata , frase dengan frase, ataupun kalimat dengan kalimat .
Contoh :
Penghubung kata dengan kata : belajar dan bekerja
Penghubung frase dengan frase : Saya tidak masuk karena sakit flu .
Penghubung kalimat dengan kalimat : Ketika ia datang , saya pergi . 

Pengertian konjungsi, notasi konjungsi, tabel kebenaran beserta contoh
Dari pernyataan p dan pernyataan q dapat dibuat pernyataan baru dengan cara menggabungkan kedua pernyataan tersebut memakai kata penghubung “ dan “.

“p dan q” dilambangkan “ p ^ q “

            Dengan tabel kebenaran, dapat dinyatakan

p	q	p ^ q
B	B	B
B	S	S
S	B	S
S	S	S

            Contoh buatlah konjungsi dari pernyataan berikut

            p = hari hujan

            q = hari mendung

            p ^ q = hari hujan dan mendung

            P = 2 + 4 = 6 (B)

            q = 6 bilangan genap (B)

            P ^ q = 2 + 4 = 6 dan 6 bilangan genap (B)

 

• Disjungsi

 Disjungsi adalah pernyataan majemuk yang menggunakan kata hubung “ atau ” dan dilambangkan dengan “ v ”.

Konjungsi pernyataan p dan pernyataan q adalah p V q p atau q

suatu disjungsi akan mempunyai nilai kebenaran salah, jika kedua pernyataannya bernilai salah. Tetapi jika salah satu atau kedua-duanya bernilai benar, maka disjungsi itu bernilai benar.

Contoh 1 :

“ Semua bilangan prima adalah ganjil atau semua grafik fungsi kuadrat memotong sumbu X “

Jawab :

p : Semua bilangan prima adalah ganjil, berarti π(p) = S

q : Semua grafik fungsi kuadrat memotong sumbu X, berarti π(q) = S

(p v q) : Semua bilangan prima adalah ganjil atau semua grafik fungsi kuadrat memotong sumbu X berarti π(p v q) = S

Contoh 2 :

“Ada bilangan asli yang terbesar atau jumlah sudut-sudut dalam segitiga adalah 180o “

Jawab :

p : Ada bilangan asli yang terbesar, berarti π(p) = S.

q : Jumlah sudut-sudut dalam segitiga adalah 180o, berarti π(q) = B

(p v q) : Ada bilangan asli yang terbesar atau jumlah sudut-sudut dalam segitiga adalah 180o berarti π(p v q) = B.

Contoh 3 :

“Semua persegi mempunyai sisi sama panjang atau besar sudut pusat lingkaran sama dengan dua kali besar sudut keliling “

Jawab :

p : Semua persegi mempunyai sisi sama panjang, berarti π(p) = B.

q : besar sudut pusat lingkaran sama dengan dua kali besar sudut keliling, berarti π(q) = S.

(p v q) : Semua persegi mempunyai sisi sama panjang atau besar sudut pusat lingkaran sama dengan dua kali besar sudut keliling berarti π(p v q) = B.

• IMPLIKASI
   

Implikasi atau pernyataan bersyarat atau kondisional adalah pernyataan majemuk yang disusun dari dua buah pernyataan p dan pernyataan q dalam bentuk jika p maka q
Bagian “jika p” dinamakan alasan atau sebab dan bagian “maka q” dinamakan kesimpulan atau akibat.
Implikasi “jika p maka q” dapat ditulis dengan lambang sebagai berikut:

(Dibaca : jika p maka q)
Dalam berbagai penerapan, implikasi dapat dibaca:
• P hanya jika q
• Q jika p
• P syarat cukup bagi q
• Q syarat perlu bagi p
Nilai kebenaran implikasi dapat ditentukan dengan menggunakan definisi berikut:
dinyatakan salah, jika p benar dan q salah.
Dalam kemungkinan yang lainnya dinyatakan benar.

•  Konvers, Invers, dan Kontraposisi 
   

Andaikan pernyataan “Jika hari hujan, saya memakai jas hujan” bernilai benar, maka itu tidak berarti bahwa pernyataan “Saya memakai jas hujan berarti hari hujan” juga bernilai benar; sebab mungkin saja saya memakai jas hujan walaupun hari tidak hujan.
Demikian pula pernyataan “Jika hari tidak hujan, saya tidak memakai jas hujan” belum tentu bernilai benar.
Sedangkan pernyataan “Jika saya tidak memakai jas hujan, hari tidak hujan” akan bernilai benar.
Definisi :
a. Konvers dari implikasi p ⇒ q adalah q ⇒ p
b. Invers dari implikasi p ⇒ q adalah ~ p ⇒ ~ q
c. Kontraposisi dari implikasi p ⇒ q adalah ~ q ⇒ ~ p
Hubungan antara implikasi, konvers, invers, dan kontraposisi dapat ditunjukkan dengan skema berikut ini:








Ekulivalen antara convers, invers dan kontraposisi.

d. Implikasi ekuivalen dengan kontraposisi

e. Konvers suatu implikasi ekuivalen dengan inversnya.